O vetor \mathrm{v}=(1,1,1) é combinação linear dos vetores \mathrm{v} 1=(1,-1,1) e v2 =(2,1,-3) ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o vetor \mathrm{v}=(1,1,1).
  • Dado o vetor \mathrm{v}_1=(1,-1,1).
  • Dado o vetor \mathrm{v}_2=(2,1,-3).
  • Pergunta: existe uma combinação linear de \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 que resulte em \mathrm{v}? Ou seja, existem escalares \alpha e \beta tais que
\mathrm{v}=\alpha\,\mathrm{v}_1+\beta\,\mathrm{v}_2\,?

Passo 2

O que significa ser “combinação linear”: é procurar números reais \alpha e \beta que façam as operações coordenada a coordenada. Escrevendo isso explicitamente:
(1,1,1)=\alpha(1,-1,1)+\beta(2,1,-3).
Cada coordenada dá uma equação em \alpha e \beta. Vou transformar essa igualdade vetorial em um sistema linear.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} 1=\alpha+2\beta,\\[4pt] 1=-\alpha+\beta,\\[4pt] 1=\alpha-3\beta. \end{cases}
Aqui, a primeira linha corresponde à primeira coordenada 1=\alpha\cdot1+\beta\cdot2, a segunda linha à segunda coordenada 1=\alpha\cdot(-1)+\beta\cdot1, e a terceira linha à terceira coordenada 1=\alpha\cdot1+\beta\cdot(-3).]

Passo 4

Vou resolver as duas primeiras equações para obter \alpha e \beta. Da segunda equação:
1=-\alpha+\beta \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\beta-1.
Substituo essa expressão na primeira equação:
1=(\beta-1)+2\beta = 3\beta-1.
Logo
3\beta=2 \quad\Longrightarrow\quad \beta=\tfrac{2}{3}.
E então
\alpha=\beta-1=\tfrac{2}{3}-1=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Agora é obrigatório checar a terceira equação, porque todas as três devem ser satisfeitas simultaneamente. Substituo \alpha=-\tfrac{1}{3} e \beta=\tfrac{2}{3} na terceira equação:
\alpha-3\beta = -\tfrac{1}{3}-3\cdot\tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{3}-2 = -\tfrac{7}{3}.
Mas a terceira equação exige que isso valha 1. Como
-\tfrac{7}{3}\neq 1,
as soluções obtidas a partir das duas primeiras equações não satisfazem a terceira. Isso mostra que o sistema é inconsistente: não existe par (\alpha,\beta) que satisfaça as três equações ao mesmo tempo.

Passo 6

Interpretação geométrica e conclusão prática (jeito de pensar rápido na prova): \mathrm{v} estaria no espaço gerado por \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 (a reta ou plano formado por combinações lineares desses dois vetores). O teste algébrico mostrou que não há escalares que façam \alpha\mathrm{v}_1+\beta\mathrm{v}_2=\mathrm{v}, então \mathrm{v} não pertence ao span \{\mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2\}. Na prática de prova, resolver as duas primeiras equações e checar a terceira é uma boa estratégia rápida para detectar inconsistência.

Resposta

Não.

Exercícios relacionados