O que significa ser “combinação linear”: é procurar números reais \alpha e \beta que façam as operações coordenada a coordenada. Escrevendo isso explicitamente:
(1,1,1)=\alpha(1,-1,1)+\beta(2,1,-3).
Cada coordenada dá uma equação em \alpha e \beta. Vou transformar essa igualdade vetorial em um sistema linear.
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
Aqui, a primeira linha corresponde à primeira coordenada 1=\alpha\cdot1+\beta\cdot2, a segunda linha à segunda coordenada 1=\alpha\cdot(-1)+\beta\cdot1, e a terceira linha à terceira coordenada 1=\alpha\cdot1+\beta\cdot(-3).]
Passo 4
Vou resolver as duas primeiras equações para obter \alpha e \beta. Da segunda equação:
Agora é obrigatório checar a terceira equação, porque todas as três devem ser satisfeitas simultaneamente. Substituo \alpha=-\tfrac{1}{3} e \beta=\tfrac{2}{3} na terceira equação:
Mas a terceira equação exige que isso valha 1. Como
-\tfrac{7}{3}\neq 1,
as soluções obtidas a partir das duas primeiras equações não satisfazem a terceira. Isso mostra que o sistema é inconsistente: não existe par (\alpha,\beta) que satisfaça as três equações ao mesmo tempo.
Passo 6
Interpretação geométrica e conclusão prática (jeito de pensar rápido na prova): \mathrm{v} estaria no espaço gerado por \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 (a reta ou plano formado por combinações lineares desses dois vetores). O teste algébrico mostrou que não há escalares que façam \alpha\mathrm{v}_1+\beta\mathrm{v}_2=\mathrm{v}, então \mathrm{v} não pertence ao span\{\mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2\}. Na prática de prova, resolver as duas primeiras equações e checar a terceira é uma boa estratégia rápida para detectar inconsistência.