QUESTÃO 04- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, logo é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito. - Precisamos verificar convergência e encontrar o valor numérico da integral.
Passo 2
Começamos usando a definição da função hiperbólica seno:
Substituindo na integral obtemos, passo a passo, o integrando em termos de exponenciais:
Passo 3
Usando a expressão acima, a integral vira a diferença de duas integrais exponenciais, por linearidade:
Passo 4
Agora calculamos as integrais básicas do tipo
com
. Primeiro a primitiva:
Avaliar no intervalo
: como
temos
. Então
Aplicando para
e
obtemos
Passo 5
Substituímos esses resultados na expressão do Passo 3:
Isso mostra também que as integrais individuais convergiam, portanto a integral original converge e vale
.