QUESTÃO 04- Calcule
\int_{0}^{\infty} \operatorname{senh}(t) e^{-2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}\,dt.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), logo é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
  • Precisamos verificar convergência e encontrar o valor numérico da integral.

Passo 2

Começamos usando a definição da função hiperbólica seno:
\operatorname{senh}(t)=\operatorname{sinh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Substituindo na integral obtemos, passo a passo, o integrando em termos de exponenciais:
\operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\,e^{-2t}=\frac{e^{t}e^{-2t}-e^{-t}e^{-2t}}{2}=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}.

Passo 3

Usando a expressão acima, a integral vira a diferença de duas integrais exponenciais, por linearidade:
\int_{0}^{\infty}\operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-t}-e^{-3t}\bigr)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,dt.

Passo 4

Agora calculamos as integrais básicas do tipo \int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt com a>0. Primeiro a primitiva:
\int e^{-a t}\,dt=-\frac{1}{a}e^{-a t}+C.
Avaliar no intervalo [0,\infty): como a>0 temos \lim_{t\to\infty}e^{-a t}=0. Então
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty} =0-\left(-\frac{1}{a}e^{0}\right)=\frac{1}{a}.
Aplicando para a=1 e a=3 obtemos
\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt=1,\qquad \int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,dt=\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituímos esses resultados na expressão do Passo 3:
\int_{0}^{\infty}\operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}\,dt =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.
Isso mostra também que as integrais individuais convergiam, portanto a integral original converge e vale \tfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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