Achar a equação do plano que contem o ponto (2,3,6) e a reta \mathscr{L}:(1,-1,4)+t(1,2,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado pede a equação do plano que contém o ponto (2,3,6) e também todos os pontos da reta
\mathscr{L}:\;(1,-1,4)+t\,(1,2,-1).
Para achar a equação de um plano em \mathbb{R}^3 precisamos determinar um vetor normal ao plano, o qual obtém-se como produto vetorial de dois vetores diretores que pertençam ao plano.

Passo 2

Como a reta \mathscr{L} está toda no plano, um dos vetores diretores do plano é
\vec{v} = (1,2,-1),
que é justamente o vetor diretor da reta. Para ter o segundo vetor diretor, basta ligar um ponto da reta, por exemplo (1,-1,4), ao ponto dado (2,3,6).

Passo 3

Calculemos esse segundo vetor:
\vec{w} = (2,3,6) - (1,-1,4) = (1,4,2).

Passo 4

O vetor normal \vec{n} ao plano vem do produto vetorial \vec{v} \times \vec{w}:
\vec{n} = (1,2,-1)\times(1,4,2) = (8,\,-3,\,2).

Passo 5

Com \vec{n}=(8,-3,2), a equação do plano pode ser escrita como
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(1,-1,4)\bigr)=0,
isto é,
8(x-1)-3(y+1)+2(z-4)=0.
Expandindo, chega-se a
8x - 3y + 2z - 19 = 0.

Resposta

8x - 3y + 2z - 19 = 0.

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