Equações de Euler. Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime \prime}+4 y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler
t^{2}y''-3t\,y'+4y=0,\quad t>0,
e pede para usar a substituição do tipo t=e^{x}, que transforma essa equação numa com coeficientes constantes. Vamos definir
x=\ln t,\quad Y(x)=y(t),
e reescrever tudo em função de x.

Passo 2

Precisamos das derivadas de y em relação a t. Como y(t)=Y(x) e x=\ln t, vale
\frac{dy}{dt} = \frac{dY}{dx}\,\frac{dx}{dt} = Y'(x)\,\frac1t,
e
\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\biggl(Y'(x)\,\frac1t\biggr) = \frac{1}{t}\frac{d}{dx}\Bigl(Y'(x)\,\frac1t\Bigr) = \frac{1}{t^2}\bigl(Y''(x)-Y'(x)\bigr).

Passo 3

Substituindo em
t^{2}y''-3t\,y'+4y=0
vem
t^{2}\,\frac{1}{t^2}(Y''-Y') \;-\;3t\;Y'\,\frac1t \;+\;4Y =0 \quad\Longrightarrow\quad Y'' -Y' -3Y' +4Y =0
ou seja
Y'' -4Y' +4Y =0,
uma EDO de coeficientes constantes.

Passo 4

A equação característica é
r^{2}-4r+4=0,
que tem raiz dupla r=2. Logo a solução geral é
Y(x)=C_{1}e^{2x} + C_{2}\,x\,e^{2x}.

Passo 5

Voltando a t, como e^{x}=t e x=\ln t, obtemos
y(t)=Y(\ln t) = C_{1}\,t^{2} + C_{2}\,(\ln t)\,t^{2}.

Resposta

\boxed{y(t)=C_{1}\,t^{2} + C_{2}\,t^{2}\ln t.}

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