Achar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto Q=(1,-2,3) e é perpendicular ao plano que contem os pontos (1,1,1), (2,1,1) e (1,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta que passa por Q=(1,-2,3) e é perpendicular ao plano determinado por P_1=(1,1,1), P_2=(2,1,1) e P_3=(1,-1,3). Para isso precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que servirá de vetor diretor da reta.

Passo 2

Obtemos dois vetores contidos no plano escolhendo P_1 como vértice comum:
\vec{v}_1 = P_2 - P_1 = (2,1,1)-(1,1,1) = (1,0,0),
\vec{v}_2 = P_3 - P_1 = (1,-1,3)-(1,1,1) = (0,-2,2).

Passo 3

O vetor normal \vec{n} ao plano é o produto vetorial \vec{v}_1 \times \vec{v}_2. Calculando:
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(0\cdot2 - 0\cdot(-2)\bigr)\,\mathbf{i} - \bigl(1\cdot2 - 0\cdot0\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(1\cdot(-2) - 0\cdot0\bigr)\,\mathbf{k} = (0,-2,-2).
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
\vec{n} = (0,1,1).

Passo 4

Como a reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor é justamente \vec{n}=(0,1,1). Logo, a equação vetorial da reta com parâmetro t é
\mathbf{r}(t)= (1,-2,3) + t\,(0,1,1).

Resposta

\mathbf{r}(t)= (1,-2,3) + t\,(0,1,1).

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