Achar o ponto de interseção da reta x=4+t, y=1-t, z=3 t, t \in \mathbb{R} com o plano 2 x+4 y+z=9

Passo 1

O enunciado dá a reta parametrizada por
x=4+t,\quad y=1-t,\quad z=3t,\quad t\in\mathbb{R}
e o plano
2x+4y+z=9.
O conteúdo é interseção reta-plano: basta substituir as coordenadas da reta na equação do plano, resolver para t e depois obter o ponto.

Passo 2

Substituímos x=4+t, y=1-t e z=3t em
2x+4y+z=9
ficando
2(4+t)+4(1-t)+(3t)=9.

Passo 3

Expandindo e somando termos semelhantes:
8+2t+4-4t+3t=9
12 + (2t-4t+3t)=9
12 + t=9
t=9-12=-3.

Passo 4

Com t=-3, calculamos as coordenadas do ponto na reta:
x=4+(-3)=1,\quad y=1-(-3)=4,\quad z=3\cdot(-3)=-9.

Resposta

O ponto de interseção é (1,4,-9).

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