Achar a equação do plano determinado pelos pontos P1(2,-1,1), P2(3,2,-1) e P3(-1,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um plano que passa por três pontos no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produtos vetoriais. Vamos precisar identificar vetores no plano e usar esses vetores para encontrar a equação que descreve todo o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pontos que temos: , e . Esses pontos vão nos ajudar a definir dois vetores no plano.

Passo 3

Agora, vamos criar dois vetores que estão no plano. Para isso, subtraímos as coordenadas de v = P2 - P1 = (3-2, 2-(-1), -1-1) = (1, 3, -2) das coordenadas de w = P3 - P1 = (-1-2, 3-(-1), 2-1) = (-3, 4, 1) e de :

Passo 4

Com esses dois vetores n = v times w = i & j & k 1 & 3 & -2 -3 & 4 & 1 e n = i(3 cdot 1 - (-2) cdot 4) - j(1 cdot 1 - (-2) cdot (-3)) + k(1 cdot 4 - 3 cdot (-3)) , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial. O vetor normal é perpendicular ao plano e é fundamental para determinar a equação do plano.
n = i(3 + 8) - j(1 - 6) + k(4 + 9)
Calculando o determinante:
n = 11i + 5j + 13k
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas de um ponto no plano.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
11(x - 2) + 5(y - (-1)) + 13(z - 1) = 0
Vamos simplificar:
11(x - 2) + 5(y + 1) + 13(z - 1) = 0
11x - 22 + 5y + 5 + 13z - 13 = 0
11x + 5y + 13z - 30 = 0

Resposta

A equação do plano determinado pelos pontos 11x + 5y + 13z - 30 = 0 , e é:

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