Achar a equação do plano determinado pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um plano que passa por três pontos no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produtos vetoriais. Vamos precisar identificar vetores no plano e usar esses vetores para encontrar a equação que descreve todo o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três pontos que temos: , e . Esses pontos vão nos ajudar a definir dois vetores no plano.
Passo 3
Agora, vamos criar dois vetores que estão no plano. Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e de :
Passo 4
Com esses dois vetores e , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial. O vetor normal é perpendicular ao plano e é fundamental para determinar a equação do plano.
Calculando o determinante:
n = 11i + 5j + 13k
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas de um ponto no plano.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
11(x - 2) + 5(y - (-1)) + 13(z - 1) = 0
Vamos simplificar:
11(x - 2) + 5(y + 1) + 13(z - 1) = 0
11x - 22 + 5y + 5 + 13z - 13 = 0
11x + 5y + 13z - 30 = 0
Resposta
A equação do plano determinado pelos pontos 11x + 5y + 13z - 30 = 0 , e é: