Encontre um vetor ortogonal ao vetor A=(-3,1,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal ao vetor . Isso está dentro do conteúdo de álgebra vetorial, mais especificamente envolvendo produtos escalares. Para resolver isso, vamos usar a propriedade que diz que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 e A cdot B = 0 , o produto escalar é calculado assim:
Para que e sejam ortogonais, precisamos que:

Passo 3

Vamos chamar o vetor que queremos encontrar de (-3)x + (1)y + (4)z = 0 . Então, aplicando a definição do produto escalar:
-3x + y + 4z = 0
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar valores para -3(1) + 1(1) + 4z = 0 -3 + 1 + 4z = 0 -2 + 4z = 0 4z = 2 z = 24 z = 12 , e que satisfaçam essa equação. Como temos uma equação com três incógnitas, podemos escolher valores para dois deles e resolver para o terceiro.
Vamos escolher e .
Substituindo na equação:

Passo 5

Então, os valores que encontramos são:
x = 1, y = 1, z = 12
Portanto, o vetor B = (1, 1, 12) que é ortogonal a é:

Resposta

Um vetor ortogonal ao vetor é .

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