Considere os vetores A=(1,3,-1) e B=(1,2,3). Calcule: o ângulo theta entre A e B;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo theta entre os vetores A = (1, 3, -1) e B = (1, 2, 3). Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Linear, especificamente o produto escalar entre vetores e as normas (ou módulos) dos vetores. Vamos precisar calcular o produto escalar de A e B, as normas de cada vetor e, por fim, aplicar a fórmula que relaciona esses elementos para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar de A e B. O produto escalar é dado por:
A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Substituindo os valores dos vetores:
A cdot B = (1)(1) + (3)(2) + (-1)(3) = 1 + 6 - 3 = 4

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou módulo) de cada vetor. A norma de um vetor A = (a1, a2, a3) é dada por:
||A|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para o vetor A:
||A|| = raiz1^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz1 + 9 + 1 = raiz11 approx 3,3166
E para o vetor B:
||B|| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 approx 3,7417

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula que relaciona esses valores para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
costheta = A cdot B||A|| , ||B||
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 43,3166 times 3,7417 approx 412,392 approx 0,323

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (ou cos^-1):
theta = cos^-1(0,323) approx 70,1^circ

Resposta

O ângulo theta entre os vetores A e B é aproximadamente 70,1^circ.

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