Achar a equação do plano a superfície: 2 x^2-3 x y-4 x=7 no ponto (1,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada implicitamente por
2x^2 - 3xy - 4x = 7
no ponto (1,-1,2). Vamos usar o método do plano tangente a uma superfície implícita, que exige encontrar o gradiente de uma função F(x,y,z) cujo nível define a superfície.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = 2x^2 - 3xy - 4x - 7,
de modo que a superfície é o nível zero de F, ou seja (x,y,z)mid F(x,y,z)=0. O vetor normal ao plano tangente em qualquer ponto é dado por nabla F(x,y,z).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x = 4x - 3y - 4, partial Fpartial y = -3x, partial Fpartial z = 0

Passo 4

Avaliamos o gradiente em (1,-1,2):
nabla F(1,-1,2) = l(4cdot1 - 3(-1) - 4,,-3cdot1,,0r) = (3,-3,0)
Esse é o vetor normal ao plano tangente naquele ponto.

Passo 5

A equação do plano tangente em (1,-1,2) é
nabla F(1,-1,2)cdotl((x,y,z)-(1,-1,2)r)=0
Substituindo o normal (3,-3,0), temos
3(x-1) - 3(y+1) + 0,(z-2) = 0

Passo 6

Basta agora simplificar a expressão:
3x - 3 -3y -3 = 0 Longrightarrow 3x -3y -6 = 0 Longrightarrow x - y - 2 = 0

Resposta

x - y - 2 = 0

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