Dado phi=2 x^3 y^2 z^4, achar nabla cdot nabla phi ou (div grad phi).

Passo 1

O enunciado dá a função phi = 2x^3y^2z^4 e pede para calcular nablacdotnablaphi, que é o Laplaciano de phi. Para isso, vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem e depois as de segunda ordem.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
partialphipartial x =2cdot 3x^2y^2z^4 =6x^2y^2z^4,
partialphipartial y =2x^3cdot 2y,z^4 =4x^3y,z^4,
partialphipartial z =2x^3y^2cdot 4z^3 =8x^3y^2z^3

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2phipartial x^2 =partialpartial xl(6x^2y^2z^4r) =12x,y^2z^4,
partial^2phipartial y^2 =partialpartial yl(4x^3y,z^4r) =4x^3z^4,
partial^2phipartial z^2 =partialpartial zl(8x^3y^2z^3r) =24x^3y^2z^2

Passo 4

O Laplaciano é a soma dessas segundas derivadas:
nablacdotnablaphi =partial^2phipartial x^2 +partial^2phipartial y^2 +partial^2phipartial z^2 =12x,y^2z^4+4x^3z^4+24x^3y^2z^2

Resposta

nablacdotnablaphi =12x,y^2z^4+4x^3z^4+24x^3y^2z^2

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