Dada a matriz
, determine as matrizes
e
responsáveis pela transformação
, onde
é a matriz diagonal similar à matriz
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz triangular superior
e pede uma diagonalização
D=P^-1AP . Como
A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
Para diagonalizar, vamos encontrar vetores próprios
vi de
A associados a cada
lambdai e montar
P=[,v1;v2;v3;v4,] .
Passo 2
Autovalor
lambda1=-5 .
Resolvemos(A+5I)x=0 . Como as subdiagonais de
A são nulas, basta escolher
Resolvemos
pois
Passo 3
Autovalor
.
Resolvemos , i.e.
Resolvemos
Dessa última linha vem
, da penúltima
e da primeira
Escolhendo
, tomamos
Passo 4
Autovalor
lambda3=9 .
Resolvemos(A-9I)x=0 , i.e.
Resolvemos
Da quarta coordenada vem
x4=0 . Da segunda
-6x2+5x3=0implies x2=tfrac56x3 . Da primeira
Escolhendo
x3=42 , obtemos
Passo 5
Autovalor
lambda4=6 .
Resolvemos(A-6I)x=0 , i.e.
Resolvemos
Da terceira linha vem
x3=0 . Da segunda
-3x2 -6x4=0implies x2=-2x4 . Da primeira
Escolhendo
x4=11 , tomamos
Passo 6
Montando
temos a matriz diagonal
tal que
D=P^-1AP .
Passo 7
Para obter
P^-1 , usamos que
P é triangular superior. Se escrevemos
os elementos diagonais são
a11=1 ,
a22=tfrac14 ,
a33=tfrac142 ,
a44=tfrac111 . Os demais calculam-se impondo
P^-1P=I por comparação de entradas, resultando em