Dada a matriz A, determine as matrizes P e P^-1 responsáveis pela transformação D=P^-1 A P, onde D é a matriz diagonal similar à matriz A.
A=(rrrr -5 & 6 & 4 & 7 0 & 3 & 5 & -6 0 & 0 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 6 )

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A= -5 & 6 & 4 & 7 0 & 3 & 5 & -6 0 & 0 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 6
e pede uma diagonalização D=P^-1AP. Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=-5, lambda2=3, lambda3=9, lambda4=6
Para diagonalizar, vamos encontrar vetores próprios vi de A associados a cada lambdai e montar P=[,v1;v2;v3;v4,].

Passo 2

Autovalor lambda1=-5.
Resolvemos (A+5I)x=0. Como as subdiagonais de A são nulas, basta escolher
v1 = 1000,
pois
A,v1 = -5,v1

Passo 3

Autovalor .
Resolvemos , i.e.
Dessa última linha vem , da penúltima e da primeira
Escolhendo , tomamos

Passo 4

Autovalor lambda3=9.
Resolvemos (A-9I)x=0, i.e.
-14 & 6 & 4 & 7 0 & -6 & 5 & -6 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -3 x=0
Da quarta coordenada vem x4=0. Da segunda -6x2+5x3=0implies x2=tfrac56x3. Da primeira
-14x1 +9x3=0;Longrightarrow;x1=tfrac914x3
Escolhendo x3=42, obtemos
v3 = 2735420

Passo 5

Autovalor lambda4=6.
Resolvemos (A-6I)x=0, i.e.
-11 & 6 & 4 & 7 0 & -3 & 5 & -6 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 x=0
Da terceira linha vem x3=0. Da segunda -3x2 -6x4=0implies x2=-2x4. Da primeira
-11x1 -5x4=0;Longrightarrow;x1=-tfrac511x4
Escolhendo x4=11, tomamos
v4 = -5-22011

Passo 6

Montando
P = l[v1;v2;v3;v4r] = 1 & 3 & 27 & -5 0 & 4 & 35 & -22 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 11 ,
temos a matriz diagonal
D = diag(-5,,3,,9,,6)
tal que D=P^-1AP.

Passo 7

Para obter P^-1, usamos que P é triangular superior. Se escrevemos
P^-1 = l(aijr)i<= j,
os elementos diagonais são a11=1, a22=tfrac14, a33=tfrac142, a44=tfrac111. Os demais calculam-se impondo P^-1P=I por comparação de entradas, resultando em
P^-1 = 1 & -tfrac34 & -tfrac156 & -tfrac2322[6pt] 0 & tfrac14 & -tfrac524 & tfrac12[6pt] 0 & 0 & tfrac142 & 0[6pt] 0 & 0 & 0 & tfrac111 ]

Resposta

P e P^-1 são
P = 1 & 3 & 27 & -5 0 & 4 & 35 & -22 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 11 , P^-1 = 1 & -tfrac34 & -tfrac156 & -tfrac2322 0 & tfrac14 & -tfrac524 & tfrac12 0 & 0 & tfrac142 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac111

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