Se A=x z^3 i-2 x^2 y z j+2 y z^4 k, achar nabla times A ou (rot A), no ponto (1,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (ou curl) de um campo vetorial
A(x,y,z)=x z^3,i-2x^2y z,j+2y z^4,k
no ponto (1,-1,1). O conteúdo é cálculo vetorial: vamos usar a definição de
nabla times A, que envolve derivadas parciais de cada componente de A.

Passo 2

Separemos as componentes de A:
Ax = x z^3, Ay = -2x^2y z, Az = 2y z^4

Passo 3

O rotacional de A em coordenadas cartesianas tem componentes
(nabla times A)x = partial Azpartial y - partial Aypartial z,
(nabla times A)y = partial Axpartial z - partial Azpartial x,
(nabla times A)z = partial Aypartial x - partial Axpartial y

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Azpartial y = 2z^4, partial Aypartial z = -2x^2y,
partial Axpartial z = 3xz^2, partial Azpartial x = 0,
partial Aypartial x = -4xyz, partial Axpartial y = 0
Logo, o rotacional geral é
nabla times A = l(2z^4 -(-2x^2y),;3xz^2 - 0,;-4xyz - 0r) = l(2z^4 +2x^2y,;3xz^2,;-4xyzr)

Passo 5

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,-1,1):
(nabla times A)x = 2cdot1^4 + 2cdot1^2cdot(-1) = 2 - 2 = 0,
(nabla times A)y = 3cdot1cdot1^2 = 3,
(nabla times A)z = -4cdot1cdot(-1)cdot1 = 4

Resposta

nabla times Al|(1,-1,1) = 0,i + 3,j + 4,k

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