Achar a equação da reta tangente à curva descrita por
x^(2/3) + y^(2/3) = 4
no ponto (3 * raiz(3), 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Vamos usar conceitos de derivada implícita para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, montar a equação da reta. Então, vamos focar em cálculo de derivadas e equações de reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a na curva . Para isso, vamos usar a derivada implícita, já que está embutida na equação.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação com respeito a :
A derivada de uma constante, como 4, é 0.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para o termo com .

Passo 5

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 7

Calculando :
Sabemos que , então:
Então,

Passo 8

Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:

Passo 9

Podemos simplificar a equação:
Então,

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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