Achar a equação da reta tangente à curva descrita por
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Vamos usar conceitos de derivada implícita para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, montar a equação da reta. Então, vamos focar em cálculo de derivadas e equações de reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
na curva
. Para isso, vamos usar a derivada implícita, já que
está embutida na equação.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação com respeito a
:
A derivada de uma constante, como 4, é 0.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para o termo com
.
Passo 5
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 7
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Então,
Passo 8
Agora que temos a inclinação
da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Passo 9
Podemos simplificar a equação:
Então,
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: