Calcular os seguintes limites usando a propriedade abaixo.
Propriedade:
Se
e
é uma função limitada em uma bola aberta de centro em
, então
Propriedade:
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, a gente tá lidando com um limite de funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos usar a propriedade que nos diz que se uma parte da função tende a zero e a outra é limitada, então o limite total também é zero. Isso vai nos ajudar bastante!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos usar na propriedade. Vamos chamar:
e
A ideia é mostrar que
tende a zero e que
é uma função limitada perto de
.
Passo 3
Vamos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
. Temos:
Como
e
estão indo para zero, tanto
,
quanto
vão para zero. A raiz quadrada de algo que vai para zero também vai para zero, então todo o produto tende a zero:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Queremos mostrar que essa função é limitada em uma vizinhança de
. No entanto, percebemos que conforme
se aproxima de
, o denominador
tende a zero, o que faz
crescer sem limite. Isso significa que
NÃO é limitada perto de
.
Passo 5
Como
não é limitada perto de
, não podemos aplicar diretamente a propriedade mencionada. Então, precisamos de outra estratégia para calcular o limite.
Vamos tentar mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim, quando
,
.
Substituindo na função:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Como
, o termo
também tende a zero (independente do valor de
). Além disso,
é limitado, pois os valores de
e
estão sempre entre
e
.
Portanto, todo o produto tende a zero.
Resposta
O limite é igual a zero.