Calcular os seguintes limites usando a propriedade abaixo.
lim substackx 0 y 0 x y raizx+yx^2+y^2
Propriedade:
Se lim substackx x0 y y0 f(x, y)=0 e g(x, y) é uma função limitada em uma bola aberta de centro em (x0, y0), então
lim substackx x0 y y0 f(x, y) g(x, y)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim substackx 0 y 0 x y raizx+yx^2+y^2
Aqui, a gente tá lidando com um limite de funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos usar a propriedade que nos diz que se uma parte da função tende a zero e a outra é limitada, então o limite total também é zero. Isso vai nos ajudar bastante!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos usar na propriedade. Vamos chamar:
f(x, y) = x y raizx+y
e
g(x, y) = 1x^2 + y^2
A ideia é mostrar que f(x, y) tende a zero e que g(x, y) é uma função limitada perto de (0,0).

Passo 3

Vamos ver o que acontece com f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Temos:
lim substackx 0 y 0 x y raizx+y
Como x e y estão indo para zero, tanto x, y quanto x+y vão para zero. A raiz quadrada de algo que vai para zero também vai para zero, então todo o produto tende a zero:
lim substackx 0 y 0 x y raizx+y = 0

Passo 4

Agora, vamos analisar g(x, y) = 1x^2 + y^2. Queremos mostrar que essa função é limitada em uma vizinhança de (0,0). No entanto, percebemos que conforme (x, y) se aproxima de (0,0), o denominador x^2 + y^2 tende a zero, o que faz g(x, y) crescer sem limite. Isso significa que g(x, y) NÃO é limitada perto de (0,0).

Passo 5

Como g(x, y) não é limitada perto de (0,0), não podemos aplicar diretamente a propriedade mencionada. Então, precisamos de outra estratégia para calcular o limite.
Vamos tentar mudar para coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Assim, quando r 0, (x, y) (0,0).
Substituindo na função:
x y raizx+yx^2+y^2 = (r cos theta)(r sin theta) raizr cos theta + r sin thetar^2
Simplificando:
= r^2 cos theta sin theta raizr (cos theta + sin theta)r^2 = cos theta sin theta raizr (cos theta + sin theta)

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando r 0:
cos theta sin theta raizr (cos theta + sin theta)
Como r 0, o termo raizr (cos theta + sin theta) também tende a zero (independente do valor de theta). Além disso, cos theta sin theta é limitado, pois os valores de cos e sin estão sempre entre -1 e 1.
Portanto, todo o produto tende a zero.

Resposta

O limite é igual a zero.
0

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