Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral tan ^5(x) sec ^7(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente potências de e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Isso nos permite expressar a integral em termos de seno e cosseno, o que pode facilitar a simplificação.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando essas expressões:
integral tan^5(x) sec^7(x) , dx = integral ( sin(x)cos(x) )^5 ( 1cos(x) )^7 , dx

Passo 4

Simplificando as potências:
= integral sin^5(x)cos^5(x) cdot 1cos^7(x) , dx = integral sin^5(x)cos^12(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos separar uma potência de = integral sin^4(x) cdot sin(x)cos^12(x) , dx e para facilitar a substituição:

Passo 6

Lembrando da identidade = integral (1 - cos^2(x))^2 cdot sin(x)cos^12(x) , dx , podemos reescrever como :

Passo 7

Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar = integral (1 - u^2)^2 cdot -duu^12 = -integral (1 - u^2)^2u^12 , du , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 8

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
= -integral 1 - 2u^2 + u^4u^12 , du = -integral ( u^-12 - 2u^-10 + u^-8 ) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:
- ( u^-11-11 - 2 cdot u^-9-9 + u^-7-7 ) + C
Simplificando os sinais:
= u^-1111 - 2u^-99 + u^-77 + C

Passo 10

Retornamos à variável original ( = cos^-11(x)11 - 2cos^-9(x)9 + cos^-7(x)7 + C ):

Resposta

A integral de sec^11(x)11 - 2,sec^9(x)9 + sec^7(x)7 + C é:

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