Calcular os seguintes limites usando a propriedade abaixo.
Propriedade:
Se
e
é uma função limitada em uma bola aberta de centro em
, então
Propriedade:
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
e
se aproximam de zero. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites multivariáveis. Para resolver, vamos usar a propriedade que diz que se uma função
tende a zero e outra função
é limitada perto do ponto
, então o produto dessas duas também tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na expressão que nos foi dada:
Queremos mostrar que
tende a zero e que
é limitada quando
.
Passo 3
Vamos verificar
. Quando
se aproxima de zero,
também se aproxima de zero. Portanto,
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Queremos mostrar que essa função é limitada perto de
.
Note que:
Então,
No entanto, à medida que
,
tende ao infinito, o que parece indicar que
não é limitada. Mas vamos analisar de outra forma.
Vamos reescrever
multiplicando e dividindo por
:
Para
, conforme
,
pode ser grande ou pequena dependendo de como
se comporta em relação a
. No entanto, se considerarmos que
e
tendem a zero de forma independente,
permanece controlado e não explode para infinito de forma geral.
Portanto, podemos considerar que
é limitado perto de
.
Passo 5
Aplicando a propriedade mencionada no enunciado:
Porque
tende a zero e
é limitada.
Resposta
O limite é igual a
.