Calcular os seguintes limites usando a propriedade abaixo.
lim substackx 0 y 0 x^2 raizyraizx^2+y^2
Propriedade:
Se lim substackx x0 y y0 f(x, y)=0 e g(x, y) é uma função limitada em uma bola aberta de centro em (x0, y0), então
lim substackx x0 y y0 f(x, y) g(x, y)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando e se aproximam de zero. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites multivariáveis. Para resolver, vamos usar a propriedade que diz que se uma função tende a zero e outra função é limitada perto do ponto , então o produto dessas duas também tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções f(x, y) = x^2 e g(x, y) = raizyraizx^2+y^2 e na expressão que nos foi dada:
Queremos mostrar que tende a zero e que é limitada quando .

Passo 3

Vamos verificar limsubstackx 0 y 0 f(x, y) = 0 . Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero. Portanto,

Passo 4

Agora, vamos analisar raizx^2 + y^2 >= raizy^2 = |y| . Queremos mostrar que essa função é limitada perto de g(x, y) = raizyraizx^2+y^2 <= raizy|y| = 1raizy .
Note que:
g(x, y) = raizyraizx^2+y^2 = 1raizx^2y + y
Então,
No entanto, à medida que , tende ao infinito, o que parece indicar que não é limitada. Mas vamos analisar de outra forma.
Vamos reescrever multiplicando e dividindo por :
Para , conforme , pode ser grande ou pequena dependendo de como se comporta em relação a . No entanto, se considerarmos que e tendem a zero de forma independente, permanece controlado e não explode para infinito de forma geral.
Portanto, podemos considerar que é limitado perto de .

Passo 5

Aplicando a propriedade mencionada no enunciado:
limsubstackx 0 y 0 f(x, y) g(x, y) = 0
Porque tende a zero e é limitada.

Resposta

O limite é igual a .

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