Calcule a derivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que são potências onde tanto a base quanto o expoente são funções de
. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a derivada tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda quando temos funções com
no expoente e na base. Então, aplicamos o logaritmo:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar a expressão:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
pela regra da cadeia, temos:
Passo 5
Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz que
. Então, derivando:
A derivada de
é
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
. Usamos a regra da cadeia novamente:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, temos a expressão para
:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função é: