Calcule a derivada da função
h(x) = cos(x)^(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que são potências onde tanto a base quanto o expoente são funções de . Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a derivada tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda quando temos funções com no expoente e na base. Então, aplicamos o logaritmo:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é pela regra da cadeia, temos:

Passo 5

Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: e . A regra do produto diz que . Então, derivando:
A derivada de é .

Passo 6

Agora, vamos derivar . Usamos a regra da cadeia novamente:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, temos a expressão para :
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é:

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