Achar
e
. Qué equações relacionam eles?
Passo 1
O enunciado pede para achar as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas: os parâmetros
e
são constantes (não dependem de
nem de
). Perguntas explícitas: calcular
e
e indicar que equações relacionam essas derivadas.
Passo 2
Método escolhido e por quê: trata-se de uma composição de funções — uma função externa
aplicada a uma função interna linear
. Para derivadas parciais usamos a regra da cadeia (chain rule) para funções compostas. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples: se
, então
Aqui cada termo significa:
é a derivada da função externa em relação à sua variável avaliada em
;
e
são as derivadas parciais da função interna em relação a
e
. Vamos identificar
e
no nosso caso.
Passo 3
Identificação das funções:
Agora calculemos
. Pela regra do expoente (derivada de
), temos
Explicando: derivar
dá
vezes
.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais da função interna
. Como
e
são constantes:
Explicando: ao derivar em relação a
, tratamos
como constante, então o termo
some; e vice-versa para
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Aqui usei
e substituí
. Cada passo seguiu a fórmula
e
.
Passo 6
Equações que relacionam
e
. Observando as fórmulas acima, ambos têm o fator comum
. Portanto:
Outra forma equivalente de escrever a relação, eliminando esse fator comum, é
pois substituindo as expressões de
e
o lado esquerdo zera. Isso mostra que os vetores gradiente são proporcionais ao vetor
.
Passo 7
Checagem numérica (exemplo para fixar): escolha
,
,
,
. Então
. Assim
Verificamos que
e
, confirmando a relação
.