Achar f_{x} e f_{y}. Qué equações relacionam eles?
f(x, y)=(a x+b y)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais f_{x} e f_{y} da função
f(x,y) = (a x + b y)^{10}.
Informações dadas: os parâmetros a e b são constantes (não dependem de x nem de y). Perguntas explícitas: calcular \,f_{x}\, e \,f_{y}\, e indicar que equações relacionam essas derivadas.

Passo 2

Método escolhido e por quê: trata-se de uma composição de funções — uma função externa t^{10} aplicada a uma função interna linear a x + b y. Para derivadas parciais usamos a regra da cadeia (chain rule) para funções compostas. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples: se f(x,y)=g(u(x,y)), então
f_x = g'(u)\cdot u_x,\qquad f_y = g'(u)\cdot u_y.
Aqui cada termo significa: g'(u) é a derivada da função externa em relação à sua variável avaliada em u; u_x e u_y são as derivadas parciais da função interna em relação a x e y. Vamos identificar g e u no nosso caso.

Passo 3

Identificação das funções:
u(x,y)=a x + b y,\qquad g(t)=t^{10}\quad\text{(onde \(t\) é a variável da função externa).}éáçã
Agora calculemos g'(t). Pela regra do expoente (derivada de t^n), temos
g'(t)=10\,t^{9}.
Explicando: derivar t^{10} 10 vezes t^{9}.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais da função interna u(x,y)=a x + b y. Como a e b são constantes:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(a x + b y) = a,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(a x + b y) = b.
Explicando: ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, então o termo b y some; e vice-versa para u_y.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f_x = g'(u)\cdot u_x = 10\,(u)^{9}\cdot a = 10\,a\,(a x + b y)^{9},
f_y = g'(u)\cdot u_y = 10\,(u)^{9}\cdot b = 10\,b\,(a x + b y)^{9}.
Aqui usei u=a x + b y e substituí g'(u)=10u^{9}. Cada passo seguiu a fórmula f_x=g'(u)\,u_x e f_y=g'(u)\,u_y.

Passo 6

Equações que relacionam f_x e f_y. Observando as fórmulas acima, ambos têm o fator comum 10\,(a x + b y)^{9}. Portanto:
\frac{f_x}{a} = \frac{f_y}{b} = 10\,(a x + b y)^{9}.
Outra forma equivalente de escrever a relação, eliminando esse fator comum, é
b\,f_x - a\,f_y = 0,
pois substituindo as expressões de f_x e f_y o lado esquerdo zera. Isso mostra que os vetores gradiente são proporcionais ao vetor (a,b).

Passo 7

Checagem numérica (exemplo para fixar): escolha a=2, b=3, x=1, y=0. Então a x + b y = 2. Assim
f_x = 10\cdot 2\cdot 2^{9} = 20\cdot 512 = 10240,
f_y = 10\cdot 3\cdot 2^{9} = 30\cdot 512 = 15360.
Verificamos que \dfrac{f_x}{a}=\dfrac{10240}{2}=5120 e \dfrac{f_y}{b}=\dfrac{15360}{3}=5120, confirmando a relação \dfrac{f_x}{a}=\dfrac{f_y}{b}.

Resposta

f_{x}=10\,a\,(a x + b y)^{9}
f_{y}=10\,b\,(a x + b y)^{9}
\dfrac{f_{x}}{a}=\dfrac{f_{y}}{b}=10\,(a x + b y)^{9}
b\,f_{x}-a\,f_{y}=0

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