Achar as equações das seguintes retas:
(b) reta que passa pelo ponto e é ortogonal ao mesmo tempo as retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma reta que passa pelo ponto e que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) às retas definidas por e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as retas às quais nossa nova reta precisa ser perpendicular. A reta é, na verdade, o eixo no espaço tridimensional. Isso porque e são sempre zero, então apenas varia. Similarmente, a reta é o eixo . Então, nossa reta precisa ser perpendicular tanto ao eixo quanto ao eixo .
Passo 3
Para encontrar a direção da nossa reta, vamos usar vetores. A direção de uma reta pode ser representada por um vetor diretor. Como nossa reta é perpendicular aos eixos e , o vetor diretor dela deve ser perpendicular aos vetores diretores desses eixos. O vetor diretor do eixo é e o do eixo é .
Passo 4
Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos e , usamos o produto vetorial. O produto vetorial de e é:
Isso significa que o vetor é perpendicular tanto a quanto a .
Passo 5
Então, o vetor diretor da nossa reta é . Agora, sabendo que a reta passa pelo ponto e tem direção , podemos usar a forma paramétrica da equação da reta:
Onde é o ponto por onde a reta passa e é o vetor diretor.
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
x = 2 + 0 cdot t y = 3 + 0 cdot t z = 4 + 1 cdot t
Isso simplifica para:
x = 2 y = 3 z = 4 + t
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto x = 2 y = 3 z = 4 + t e é ortogonal às retas e é: