verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a reta: r: x-3-1=y+12=z-2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos e estão na reta dada por . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar as equações paramétricas da reta e ver se os pontos satisfazem essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de forma paramétrica. Temos:
x - 3-1 = y + 12 = z - 2-2 = t
Isso significa que podemos expressar x = 3 - t , y = -1 + 2t e z = 2 - 2t em termos do parâmetro :
Agora, para verificar se o ponto está na reta, vamos substituir , e nas equações acima e ver se encontramos um valor de que funcione para todas as três coordenadas.

Passo 3

Vamos começar com 5 = 3 - t implies t = 3 - 5 = -2 :
  1. Para -4 = -1 + 2t implies 2t = -4 + 1 implies 2t = -3 implies t = -32 :
6 = 2 - 2t implies -2t = 6 - 2 implies -2t = 4 implies t = -2
  1. Para 4 = 3 - t implies t = 3 - 4 = -1 :
-1 = -1 + 2t implies 2t = -1 + 1 implies 2t = 0 implies t = 0
  1. Para 12 = 2 - 2t implies -2t = 12 - 2 implies -2t = 10 implies t = -5 :
Observamos que os valores de para e são iguais ( ), mas para é diferente ( ). Isso significa que não está na reta.
Agora, vamos verificar :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Aqui, todos os valores de são diferentes ( , , ), então também não está na reta.

Resposta

Nenhum dos pontos e pertence à reta .

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