Determine as equações paramétricas do plano que passa por e é paralelo às retas e
Resposta: pi:lx=1+2 alpha+beta y=2-alpha+2 beta z=2+2 alpha+3 beta
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto (1,2,2) e que é paralelo às duas retas dadas:
x = y2 = z3
lx=1+2 lambda y=-1-lambda z=2 lambda
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar identificando os vetores diretores das duas retas fornecidas. O vetor diretor de uma reta indica a direção na qual a reta se move.
Para a primeira reta, x = y2 = z3, podemos escrever isso em forma paramétrica:
x = 2t y = t z = 3t
Aqui, o vetor diretor é v = (2, 1, 3).
Passo 3
Para a segunda reta, lx=1+2 lambda y=-1-lambda z=2 lambda, já está na forma paramétrica, onde lambda é o parâmetro. O vetor diretor dessa reta é w = (2, -1, 2).
Passo 4
Como o plano é paralelo a essas duas retas, ele deve conter os vetores diretores v e w. Portanto, o vetor posição no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
r = r0 + alpha v + beta w
onde r0 = (1,2,2) é o ponto dado no plano, e alpha, beta são parâmetros.
Passo 5
Substituindo os valores dos vetores e o ponto na equação acima:
r = (1,2,2) + alpha (2,1,3) + beta (2,-1,2)
Agora, vamos separar cada componente:
x = 1 + 2alpha + 2beta y = 2 + alpha - beta z = 2 + 3alpha + 2beta