Determinar as equações paramétricas da perpendicular comum às seguintes retas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas da perpendicular comum entre duas retas no espaço. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender como representar essas retas em forma vetorial e usar vetores para encontrar a perpendicular.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações dadas das retas e em forma vetorial. As equações simétricas são:
Podemos escrever a forma vetorial dessas retas como:
Aqui, e são pontos pelas quais passam as retas, e e são os vetores diretores das retas e , respectivamente.
Passo 3
Agora, para encontrar a perpendicular comum, precisamos de um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores das duas retas. Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores diretores:
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambas as retas:
n = (13, 13, 13)
Podemos simplificar para .
Passo 4
Agora que temos o vetor direcional da perpendicular P = (-1, -3, 2) + t(3, -2, -1) , precisamos encontrar um ponto por onde essa perpendicular passa. Para isso, consideramos as posições das duas retas e buscamos o ponto de interseção da perpendicular com elas.
Vamos chamar os pontos nas retas Q = (2, -1, 1) + u(2, 3, -5) e (2 + 2u - (-1 + 3t), -1 + 3u - (-3 - 2t), 1 - 5u - (2 - t)) = k(1, 1, 1) onde a perpendicular toca de e , respectivamente. Então, temos:
Como a perpendicular é , onde é um escalar, temos:
Isso nos dá um sistema de equaç��es para resolver , e .
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Primeira equação:
2 + 2u + 1 - 3t = k Rightarrow 3 + 2u - 3t = k (1)
Segunda equação:
-1 + 3u + 3 + 2t = k Rightarrow 2 + 3u + 2t = k (2)
Terceira equação:
1 - 5u - 2 + t = k Rightarrow -1 -5u + t = k (3)
Igualando (1) e (2):
3 + 2u - 3t = 2 + 3u + 2t
1 - u - 5t = 0 Rightarrow u = 1 - 5t (4)
Igualando (1) e (3):
3 + 2u - 3t = -1 -5u + t
4 + 7u -4t = 0 Rightarrow 7u -4t = -4 (5)
Substituindo 7(1 -5t) -4t = -4 da equação (4) na equação (5):
7 -35t -4t = -4
-39t = -11 Rightarrow t = 1139
u = 1 -5(1139) = 1 - 5539 = 39 -5539 = -1639
Agora, encontramos :
Passo 6
Com os valores de P = (-1, -3, 2) + 1139(3, -2, -1) = (-1 + 3339, -3 - 2239, 2 - 1139) = (-639, -13939, 6739) e Q = (2, -1, 1) + (-1639)(2, 3, -5) = (2 - 3239, -1 - 4839, 1 + 8039) = (4639, -8739, 11939) , podemos encontrar os pontos e :
Passo 7
Agora, a perpendicular comum passa do ponto x = -639 + k ao ponto y = -13939 + k . Usando o vetor direcional z = 6739 + k , podemos escrever as equações paramétricas da perpendicular:
x = -213 + k
y = -13939 + k
z = 6739 + k
Simplificando as frações:
Resposta
As equações paramétricas da perpendicular comum são: