Achar as equações vetorial, paramêtrica e cartesiana da reta que passa por P0=(1,-1) com direção u=(-3,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa por P0=(1,-1) com vetor direção u=(-3,-1). Vamos usar a representação vetorial de reta em R^2, depois extrair a forma paramétrica e por fim eliminar o parâmetro para chegar à forma cartesiana.

Passo 2

A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto vec r0 e tem direção vec u é
vec r(t)=vec r0+t,vec u
Aqui vec r0=lang<=1,-1rang<= e vec u=lang<=-3,-1rang<=, logo
vec r(t)=lang<=1,-1rang<=+tlang<=-3,-1rang<=

Passo 3

Da expressão vetorial obtém-se a forma paramétrica, escrevendo as componentes:
x(t)=1-3t, y(t)=-1-t

Passo 4

Para achar a equação cartesiana, eliminamos t. Da primeira componente,
t=x-1-3,
e da segunda,
t=-(y+1)
Igualando as duas expressões de t:
x-1-3=-(y+1) Longrightarrow x-1=3(y+1) Longrightarrow x-3y-4=0

Resposta

Equação vetorial: vec r(t)=lang<=1,-1rang<=+tlang<=-3,-1rang<=
Equação paramétrica: x=1-3t,;y=-1-t
Equação cartesiana:
x-3y-4=0

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