Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) x^2 cos (x)x^2+y^2

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função x^2 cos (x)x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Estamos trabalhando com cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista em (0,0), o valor precisa ser o mesmo independentemente do caminho que tomamos para chegar lá. Então, vamos testar alguns caminhos diferentes.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho mais simples: onde y = 0 . Substituindo na função:
lim (x, 0) (0,0) x^2 cos (x)x^2+0^2 = lim x 0 x^2 cos (x)x^2 = lim x 0 cos(x) = cos(0) = 1
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) ao longo do eixo x, o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho: onde x = 0 . Substituindo na função:
lim (0, y) (0,0) 0^2 cos (0)0^2+y^2 = lim y 0 0y^2 = 0
Dessa vez, ao nos aproximarmos ao longo do eixo y, o limite é 0.

Passo 5

Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0,0), obtemos limites diferentes ( 1 e 0). Isso significa que não há um único valor para o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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