Questão 1. Uma consultoria em Processos Gerenciais irá investir em um novo produto. O novo produto terá diversos custos como: publicidade, campanha nacional de vendas, promoções e custos operacionais. Espera-se Fluxos de Caixa positivos e iguais a \mathrm{R} \ 50.000,00 do primeiro ao sexto ano. As saídas de caixa serão deíã\mathrm{R} $20.000 , 00 a cada ano. A empresa planeja investir inicialmente\mathrm{R} $ 100.000 , 00 e considera-se que os fluxos de caixa são após pagamento de impostos. A taxa de juros considerada nesse projeto é deãóé10 %$ ao ano. Calcule o Valor Presente para cada ano e o VPL Final. Após esses cálculos informe se o projeto é viável ou não.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado deu e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Receitas (entradas) de caixa: R\$\,50.000,00 em cada ano de 1 a 6 (ou seja, seis vezes).
    • Saídas de caixa (custos operacionais etc.): R\$\,20.000,00 em cada ano de 1 a 6.
    • Investimento inicial (no instante 0): R\$\,100.000,00.
    • Taxa de desconto (taxa de juros) anual: 10\% ao ano.
  • O que se pede:
    • Calcular o Valor Presente (PV) do fluxo de caixa para cada ano (ou seja, descontar cada fluxo anual para o instante 0).
    • Calcular o VPL (Valor Presente Líquido) final do projeto.
    • Informar se o projeto é viável ou não (regra usual: projeto viável se \text{VPL}>0).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pânico!).
  • Quando se diz “valor presente” estamos trazendo um valor futuro para o instante 0 usando a taxa de desconto i. A fórmula básica para descontar um fluxo que ocorre no ano t é:
\text{PV}_t=\frac{\text{CF}_t}{(1+i)^t},
onde:
  • \text{PV}_t é o valor presente, no instante 0, do fluxo que ocorre no ano t;
  • \text{CF}_t é o fluxo de caixa no ano t (positivo para entrada, negativo para saída);
  • i é a taxa de desconto anual (aqui i=0{,}10);
  • t é o número do ano (1,2,\dots).
  • Para uma renda igual e periódica (anuidade) existe a fórmula direta para o valor presente da anuidade:
\text{PV}_{\text{anuidade}}=\text{CF}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
onde:
  • \text{CF} é o fluxo líquido anual constante;
  • n é o número de anos.
  • Regra de decisão: aceitar o projeto se
\text{VPL}=\text{PV dos fluxos futuros} - \text{investimento inicial} > 0.

Passo 3

Calcular o fluxo de caixa líquido anual (o que realmente entra por ano depois dos custos).
  • A empresa tem entradas de R\$\,50.000,00 e saídas de R\$\,20.000,00 a cada ano. Logo o fluxo líquido anual é:
\text{CF anual} = R\$\,50.000,00 - R\$\,20.000,00 = R\$\,30.000,00.
  • Esse valor R\$\,30.000,00 ocorre em cada um dos anos t=1,2,\dots,6.

Passo 4

Aplicar a fórmula de desconto para cada ano: calcular \text{PV}_t=\dfrac{30.000}{(1{,}10)^t} para t=1 até 6. Vou mostrar o cálculo e o resultado arredondado a centavos para cada ano.
  • Ano 1:
\text{PV}_1=\frac{R\$\,30.000,00}{(1{,}10)^1}=\frac{R\$\,30.000,00}{1{,}1}=R\$\,27.272,73.
  • Ano 2:
\text{PV}_2=\frac{R\$\,30.000,00}{(1{,}10)^2}=\frac{R\$\,30.000,00}{1{,}21}=R\$\,24.793,39.
  • Ano 3:
\text{PV}_3=\frac{R\$\,30.000,00}{(1{,}10)^3}=\frac{R\$\,30.000,00}{1{,}331}=R\$\,22.539,44.
  • Ano 4:
\text{PV}_4=\frac{R\$\,30.000,00}{(1{,}10)^4}=\frac{R\$\,30.000,00}{1{,}4641}=R\$\,20.490,40.
  • Ano 5:
\text{PV}_5=\frac{R\$\,30.000,00}{(1{,}10)^5}=\frac{R\$\,30.000,00}{1{,}61051}=R\$\,18.627,64.
  • Ano 6:
\text{PV}_6=\frac{R\$\,30.000,00}{(1{,}10)^6}=\frac{R\$\,30.000,00}{1{,}771561}=R\$\,16.934,41.
(Observação pedagógica: os denominadores são (1{,}1)^t. Para t=2 é 1{,}1^2=1{,}21; para t=3 é 1{,}331; e assim por diante — basta multiplicar por 1{,}1 a cada passo.)

Passo 5

Somar os valores presentes anuais para obter o PV total dos fluxos e checar com a fórmula da anuidade.
  • Soma dos \text{PV}_t (usando os valores arredondados a centavos acima):
\text{PV total}=\sum_{t=1}^{6}\text{PV}_t =R\$\,27.272,73+R\$\,24.793,39+R\$\,22.539,44+R\$\,20.490,40+R\$\,18.627,64+R\$\,16.934,41.
Fazendo a soma:
\text{PV total}=R\$\,130.658,01.
  • Verificação usando a fórmula da anuidade (mais precisa):
\text{PV}_{\text{anuidade}}=R\$\,30.000,00\cdot\frac{1-(1{,}10)^{-6}}{0{,}10} \approx R\$\,130.657,82,
que coincide praticamente (diferença mínima por arredondamento) com a soma dos PVs individuais. Então o PV dos fluxos descontados é cerca de R\$\,130.658,00.

Passo 6

Calcular o VPL (subtrair o investimento inicial) e aplicar a regra de decisão.
  • Investimento inicial: R\$\,100.000,00.
  • VPL:
\text{VPL}=\text{PV total} - \text{Investimento inicial} \approx R\$\,130.658,01 - R\$\,100.000,00 = R\$\,30.658,01.
(Usando o resultado da soma arredondada. Pelo cálculo da anuidade o VPL fica aproximadamente R\$\,30.657,82; não há diferença econômica material.)
  • Regra: como \text{VPL}>0, o projeto é viável (gera valor para a empresa à taxa de desconto de 10\% ao ano).

Passo 7

Interpretação final e dica para prova.
  • Interpretação simples: o projeto devolve, em valor presente, mais do que o investimento inicial em cerca de R\$\,30{.}658; portanto cria valor e deve ser aceito.
  • Dica prática: em prova, se os fluxos anuais forem constantes use direto a fórmula da anuidade para poupar tempo; se pedir PV de cada ano, calcule os termos individuais com \text{PV}_t=\text{CF}/(1+i)^t e some; sempre justifique a regra de decisão ( \text{VPL}>0 aceita).

Resposta

\text{PV}_1 = R\$\,27.272,73
\text{PV}_2 = R\$\,24.793,39
\text{PV}_3 = R\$\,22.539,44
\text{PV}_4 = R\$\,20.490,40
\text{PV}_5 = R\$\,18.627,64
\text{PV}_6 = R\$\,16.934,41
\text{VPL} \approx R\$\,30.658,01 — Projeto viável (aceitar).

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