A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.
Valor (Milhares de reais) -50 35 22
Periodo (anos) 0 1 2
A taxa interna de retorno é igual a? (10%)

Passo 1

O enunciado nos dá um fluxo de caixa (peguei os números da tabela) com valores em milhares de reais nos períodos indicados. Informações relevantes:
  • Período 0: fluxo -50 (isto é, -50 milhares de reais).
  • Período 1: fluxo 35 (isto é, 35 milhares de reais).
  • Período 2: fluxo 22 (isto é, 22 milhares de reais).
    O que o enunciado pergunta:
  • Calcular a taxa interna de retorno (TIR) do projeto.

Passo 2

O que é a TIR e como ela se obtém (mini-aula): a taxa interna de retorno, chamada aqui de TIR e denotada por r, é a taxa que faz o valor presente líquido (VPL ou NPV) do fluxo igual a zero. O VPL de um fluxo \{C_0,C_1,\dots,C_n\} é dado por
\text{VPL}(r)=\sum_{t=0}^{n}\frac{C_t}{(1+r)^t},
onde:
  • C_t é o fluxo no período t (negativo para desembolso, positivo para recebimento);
  • r é a taxa (a TIR é o valor de r que satisfaz \text{VPL}(r)=0).
    No nosso caso temos n=2 e C_0=-50, C_1=35, C_2=22. Portanto a equação que define a TIR é
-50+\frac{35}{1+r}+\frac{22}{(1+r)^2}=0.

Passo 3

Transformar a equação em forma mais simples para resolver: para facilitar, faça a substituição
x=\frac{1}{1+r}.
Assim \frac{1}{1+r}=x e \frac{1}{(1+r)^2}=x^2. Substituindo na equação do VPL obtemos uma equação quadrática em x:
-50+35x+22x^2=0.
Reescrevendo em ordem decrescente:
22x^2+35x-50=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática (mini-aula sobre fórmula de Bhaskara): para uma equação \,ax^2+bx+c=0, as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a=22, b=35 e c=-50. Primeiro calcule o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=35^2-4\cdot22\cdot(-50).
Calcule passo a passo:
35^2=1225, \qquad 4\cdot22\cdot(-50)= -4400,
logo
\Delta=1225-(-4400)=1225+4400=5625.
A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{5625}=75.
Agora aplique Bhaskara:
x=\frac{-35\pm75}{2\cdot22}=\frac{-35\pm75}{44}.

Passo 5

Escolher a solução fisicamente válida: as duas possibilidades são
x_1=\frac{-35+75}{44}=\frac{40}{44}=\frac{10}{11}\approx0{,}90909,
x_2=\frac{-35-75}{44}=\frac{-110}{44}=-2{,}5.
Como x=\dfrac{1}{1+r} deve ser positivo (pois 1+r>0 para taxas reais usuais), rejeitamos x_2=-2{,}5. Portanto a solução válida é
x=\frac{10}{11}.

Passo 6

Voltar da substituição para encontrar r: lembrando que x=\dfrac{1}{1+r}, temos
\frac{1}{1+r}=\frac{10}{11}.
Invertendo ambos os lados:
1+r=\frac{11}{10}.
Assim
r=\frac{11}{10}-1=\frac{1}{10}=0{,}1.

Resposta

10\%

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