Achar, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) sen(x^3+y^3)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)senl(x^3+y^3r)x^2+y^2
O conteúdo envolve limites em R^2 e podemos usar a desigualdade do seno junto ao Teorema do Confronto ou coordenadas polares para mostrar que o quociente tende a zero.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade clássica
|sen(u)|<=|u|,
tomando u=x^3+y^3. Assim
|sen(x^3+y^3)x^2+y^2| <= |x^3+y^3|x^2+y^2

Passo 3

Estimamos o numerador usando desigualdade triangular:
|x^3+y^3|<=|x|^3+|y|^3,
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|sen(x^3+y^3)x^2+y^2| <= |x|^3+|y|^3x^2+y^2

Passo 4

Para mostrar que o lado direito tende a zero, use coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta,
com rto0^+. Então
|x|^3+|y|^3x^2+y^2 = r^3l(|cos^3theta|+|sin^3theta|r)r^2 = rl(|cos^3theta|+|sin^3theta|r)
Como |cos^3theta|+|sin^3theta|<=2, segue que
0<= rl(|cos^3theta|+|sin^3theta|r) <=2r ;xrightarrow[rto0];0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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