Para um corpo cuja função horária dos movimentos é
, encontre a partir de
a equação da velocidade, e a partir de
a aceleração do corpo. Utilize a definição de derivada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a função que descreve a posição de um corpo ao longo do tempo:
O que a gente quer é encontrar duas coisas:
- A velocidade do corpo, que é a primeira derivada da função posição, ou seja,
. - A aceleração do corpo, que é a segunda derivada da função posição, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas usando a definição de limite. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
usando a definição de derivada:
Isso significa que a velocidade em um instante
é o limite da variação da posição quando o intervalo de tempo
tende a zero.
Passo 3
Vamos calcular
:
Expandindo os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 5
Substituímos essa diferença na definição de derivada:
Simplificando a fração dividindo cada termo por
:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite
:
Então, a velocidade do corpo é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade
.
Usando novamente a definição de derivada:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Calculamos a diferença
:
Substituímos na definição de derivada:
Então, a aceleração do corpo é:
Resposta
A equação da velocidade é
e a equação da aceleração é
.