Para um corpo cuja função horária dos movimentos é f(t)=5 t^2+10 t+50, encontre a partir de f^prime(t) a equação da velocidade, e a partir de f^prime prime(t)=f^prime(f^prime(t)) a aceleração do corpo. Utilize a definição de derivada:
f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(h)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função que descreve a posição de um corpo ao longo do tempo:
f(t) = 5 t^2 + 10 t + 50
O que a gente quer é encontrar duas coisas:
  1. A velocidade do corpo, que é a primeira derivada da função posição, ou seja, f'(t) .
  2. A aceleração do corpo, que é a segunda derivada da função posição, ou seja, f''(t) .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas usando a definição de limite. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade f'(t) usando a definição de derivada:
f'(t) = limh to 0 f(t + h) - f(t)h
Isso significa que a velocidade em um instante t é o limite da variação da posição quando o intervalo de tempo h tende a zero.

Passo 3

Vamos calcular f(t + h) :
f(t + h) = 5 (t + h)^2 + 10 (t + h) + 50
Expandindo os termos:
f(t + h) = 5 (t^2 + 2ht + h^2) + 10t + 10h + 50
f(t + h) = 5t^2 + 10ht + 5h^2 + 10t + 10h + 50

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença f(t + h) - f(t) :
f(t + h) - f(t) = (5t^2 + 10ht + 5h^2 + 10t + 10h + 50) - (5t^2 + 10t + 50)
f(t + h) - f(t) = 10ht + 5h^2 + 10h

Passo 5

Substituímos essa diferença na definição de derivada:
f'(t) = limh to 0 10ht + 5h^2 + 10hh
Simplificando a fração dividindo cada termo por h :
f'(t) = limh to 0 (10t + 5h + 10)

Passo 6

Agora, aplicamos o limite h to 0 :
f'(t) = 10t + 0 + 10 = 10t + 10
Então, a velocidade do corpo é:
f'(t) = 10t + 10

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração f''(t) , que é a derivada da velocidade f'(t) .
Usando novamente a definição de derivada:
f''(t) = limh to 0 f'(t + h) - f'(t)h
Sabemos que f'(t) = 10t + 10 , então:
f'(t + h) = 10(t + h) + 10 = 10t + 10h + 10

Passo 8

Calculamos a diferença f'(t + h) - f'(t) :
f'(t + h) - f'(t) = (10t + 10h + 10) - (10t + 10) = 10h
Substituímos na definição de derivada:
f''(t) = limh to 0 10hh = limh to 0 10 = 10
Então, a aceleração do corpo é:
f''(t) = 10

Resposta

A equação da velocidade é f'(t) = 10t + 10 e a equação da aceleração é f''(t) = 10 .

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