Achar, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) x sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite em (x,y)to(0,0) da função
f(x,y)=xsenl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar desigualdade para controlar o valor de sen e, em seguida, o Teorema do Confronto (Squeeze).

Passo 2

Usamos que para todo tinR vale
l|sen tr|<= |t|
Logo, com t=x^2+y^2, temos
l|sen(x^2+y^2)r|<= x^2+y^2
Isto implica
l|f(x,y)r| =|xsen(x^2+y^2)x^2+y^2| <=|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2 =|x|

Passo 3

Como |x|<=raizx^2+y^2, ao fazermos (x,y)to(0,0) temos raizx^2+y^2to0. Portanto
0<=l|f(x,y)r|<=|x|<=raizx^2+y^2to0,
e pelo Teorema do Confronto segue que f(x,y)to0.

Resposta

O limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0)xsenl(x^2+y^2r)x^2+y^2=0

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