Achar, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) x^4 y+4 x^2 y^3-y^5(x^2+y^2)^2

Passo 1

A gente precisa achar o limite lim(x,y)to(0,0) x^4y + 4x^2y^3 - y^5(x^2+y^2)^2. Isso é um limite em duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para simplificar a expressão e ver como ela se comporta quando a distância r=raizx^2+y^2 vai a zero.
Uma ideia central é que, se o numerador e o denominador são polinômios homogêneos de graus m e n, em coordenadas polares cada um fica proporcional a r^m e r^n. Então o quociente vira r^m-n vezes uma função de theta. Aqui o numerador tem grau total 5 e o denominador grau total 4, então esperamos um fator r^5-4=r, que tende a zero.

Passo 2

Fazendo a substituição em polares:
x = rcostheta, y = rsintheta
Substituindo no numerador e no denominador, obtemos:
x^4y + 4x^2y^3 - y^5(x^2+y^2)^2 = r^5l(cos^4thetasintheta + 4cos^2thetasin^3theta - sin^5thetar)r^4 = rl(cos^4thetasintheta + 4cos^2thetasin^3theta - sin^5thetar)

Passo 3

Como cos^4thetasintheta + 4cos^2thetasin^3theta - sin^5theta é limitada (é uma combinação de senos e cossenos), o produto com r tende a zero quando rto0. Portanto o limite é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados