Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=ccc x raizy|x|+|y| & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x,y)= dfracxraizy|x|+|y|,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis. Precisamos mostrar que f é contínua em todo ponto do domínio (que é (x,y)inR^2mid y>=0), distinguindo o caso (x,y)neq(0,0) e o caso (x,y)to(0,0).]

Passo 2

Se (x0,y0)neq(0,0) então ou y0>0 ou y0=0 com x0neq0. Em qualquer um desses casos o denominador |x|+|y| é estritamente positivo, e tanto xmapsto x, ymapstoraizy (em y>=0) e (x,y)mapsto|x|+|y| são funções contínuas. Logo, o quociente
(x,y)longmapsto xraizy|x|+|y|
é contínuo em todo ponto em que o denominador não se anula. Portanto f é contínua em todo ponto (x0,y0)neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Como f(0,0)=0, precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)xraizy|x|+|y|=0
Para isso usamos uma estimativa com valor absoluto:
gl|xraizy|x|+|y|gr| =|x|raizy|x|+|y|

Passo 4

Dividimos em dois casos:
Caso 1: |x|>= y.
Então |x|+|y|>=|x|, e
|x|raizy|x|+|y|<=|x|raizy|x|=raizy
Como yto0 implica raizyto0, nessa região o quociente tende a zero.

Passo 5

Caso 2: |x|<y.
Aqui |x|+|y|>= y, então
|x|raizy|x|+|y|<=|x|raizyy =|x|raizy
Mas |x|<y implica raizy>raiz|x|, logo
|x|raizy<|x|raiz|x| =raiz|x|,longrightarrow0 quando xto0

Passo 6

Como em ambos os casos a expressão é majorada por quantidades que vão a zero conforme (x,y)to(0,0), concluímos que
lim(x,y)to(0,0)xraizy|x|+|y|=0
e, portanto, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo o seu domínio (em todo (x,y) com y>=0), inclusive em (0,0).

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