Achar, se existir, o limite lim (x, y) (-1,-2) log (x^2+y^2-4)x^2+y^2-5

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(-1,-2)logl(x^2+y^2-4r)x^2+y^2-5.
O conteúdo usado será limites de funções de várias variáveis e a regra de L\’Hôpital para a etapa de redução a uma variável.

Passo 2

Definimos
t = x^2 + y^2
Quando (x,y)to(-1,-2), temos tto5. A expressão original torna-se
log(t-4)t-5,
e, como a região de definição exige t>4, ela é válida perto de t=5.

Passo 3

Ao substituir t=5 vemos que
log(5-4)=log1=0 e 5-5=0,
logo é a forma indeterminada tfrac00. Podemos então tratar
g(t)=log(t-4)t-5
como uma função de uma única variável e aplicar L\’Hôpital.

Passo 4

Calculamos as derivadas em relação a t:
ddtlog(t-4)=1t-4, ddt(t-5)=1
Pela regra de L\’Hôpital,
limtto5log(t-4)t-5 =limtto51/(t-4)1 =15-4 =1

Resposta

O limite existe e vale 1.

Exercícios relacionados