Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=cc 4 x y^2-3 x^3x^2-y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x,y)= dfrac4xy^2-3x^3x^2-y^2,& (x,y)neq(0,0),[1em] 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade em R^2. Para resolver, vamos usar que:
  • Quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não anula.
  • A definição de limite em várias variáveis e teste por caminhos distintos em (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0) e x^2neq y^2, o denominador x^2-y^2 é não nulo e tanto 4xy^2-3x^3 quanto x^2-y^2 são polinômios. Logo, f é quociente de polinômios com denominador não zero, portanto é contínua em todo ponto do seu domínio externo às retas y=pm x.

Passo 3

Para analisar a continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
ao longo de retas y=kx com kneqpm1. Substituindo y=kx em tfrac4xy^2-3x^3x^2-y^2:
4x,(kx)^2-3x^3x^2-(kx)^2 =x^3l(4k^2-3r)x^2(1-k^2) =x;4k^2-31-k^2
Quando xto0, esse valor tende a 0.

Passo 4

Agora escolhemos um caminho que não seja reta. Por exemplo,
y = x + x^2
Então
y^2=x^2+2x^3+x^4, x^2-y^2=-2x^3-x^4=-x^3(2+x),
e
4x,y^2-3x^3 =4xl(x^2+2x^3+x^4r)-3x^3 =x^3+8x^4+4x^5
Portanto
fl(x,,x+x^2r) =x^3(1+8x+4x^2)-x^3(2+x) =-1+8x+4x^22+x
e, ao fazermos xto0, obtemos
limxto0fl(x,,x+x^2r)=-12

Passo 5

Vimos que ao longo de retas y=kx o limite é 0, mas ao longo de y=x+x^2 o limite é -tfrac12. Como esses limites não coincidem, o limite geral
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe. Logo, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto de seu domínio (x,y)mid x^2neq y^2 (exceto nas retas y=pm x, onde não está definida) e é descontinua em (0,0).

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