O conteúdo é continuidade em R^2. Para resolver, vamos usar que:
Quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não anula.
A definição de limite em várias variáveis e teste por caminhos distintos em (0,0).]
Passo 2
Se (x,y)neq(0,0) e x^2neq y^2, o denominador x^2-y^2 é não nulo e tanto 4xy^2-3x^3 quanto x^2-y^2 são polinômios. Logo, f é quociente de polinômios com denominador não zero, portanto é contínua em todo ponto do seu domínio externo às retas y=pm x.
Passo 3
Para analisar a continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
ao longo de retas y=kx com kneqpm1. Substituindo y=kx em tfrac4xy^2-3x^3x^2-y^2:
Vimos que ao longo de retas y=kx o limite é 0, mas ao longo de y=x+x^2 o limite é -tfrac12. Como esses limites não coincidem, o limite geral lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe. Logo, f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função f é contínua em todo ponto de seu domínio (x,y)mid x^2neq y^2 (exceto nas retas y=pm x, onde não está definida) e é descontinua em (0,0).