Achar, se existir, o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\tan \left(x^{2} y\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\tan\bigl(x^{2}y\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo envolve limite de função de duas variáveis e expansão de Taylor (ou desigualdades) para \tan(u) quando u\to0. Vamos usar que \tan(u)/u\to1 e depois aplicar uma desigualdade para mostrar que todo o quociente tende a zero.

Passo 2

Como \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u}=1, existe \delta>0 tal que, para |u|<\delta,
\bigl|\tan(u)\bigr|\le 2\,|u|.
No nosso caso tomamos u=x^{2}y. Para pontos suficientemente próximos de (0,0) temos |x^{2}y|<\delta e, portanto,
\bigl|\tan\bigl(x^{2}y\bigr)\bigr|\le 2\,\bigl|x^{2}y\bigr|.

Passo 3

Isso leva a
\left|\frac{\tan\bigl(x^{2}y\bigr)}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 2\,\frac{\bigl|x^{2}y\bigr|}{x^{2}+y^{2}}.
Agora usamos que \bigl|x^{2}y\bigr| = x^{2}\,|y| e que
x^{2}\le x^{2}+y^{2},\qquad |y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}},
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x^{2}\,|y|\le (x^{2}+y^{2})\;\sqrt{x^{2}+y^{2}} =(x^{2}+y^{2})^{3/2}.

Passo 4

Substituindo no quociente,
\left|\frac{\tan\bigl(x^{2}y\bigr)}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 2\,\frac{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}{x^{2}+y^{2}} =2\,(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Como (x,y)\to(0,0) implica \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0, o lado direito tende a zero. Pelo Teorema do Confronto, o limite original existe e vale zero.

Resposta

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