Expressar o volume V de uma pirâmide quadrangular regular em função de sua altura x e de sua aresta lateral y. Em seguida, determine o domínio de tal função.

Passo 1

O enunciado pede o volume V de uma pirâmide quadrangular regular em função da altura x e da aresta lateral y. O conteúdo necessário é a relação geométrica entre essas variáveis, obtida com o Teorema de Pitágoras, e a fórmula do volume de uma pirâmide
V = \frac{1}{3} (\text{área da base}) \times (\text{altura}).á

Passo 2

Seja s o lado do quadrado da base. O pé da altura está no centro da base, e a distância do centro a um vértice é metade da diagonal do quadrado, isto é,
\frac{s\sqrt{2}}{2}.
Aplicando o Teorema de Pitágoras à aresta lateral de comprimento y, altura x e essa meia-diagonal, temos
y^2 = x^2 + \Bigl(\tfrac{s\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2 = x^2 + \frac{s^2}{2}.
Desse modo,
s^2 = 2\bigl(y^2 - x^2\bigr).

Passo 3

A área da base é
\text{área da base} = s^2 = 2\bigl(y^2 - x^2\bigr),á
logo o volume da pirâmide vale
V = \frac{1}{3}\,s^2\;x = \frac{1}{3}\,2\bigl(y^2 - x^2\bigr)\,x = \frac{2}{3}\,x\bigl(y^2 - x^2\bigr).

Passo 4

Para que a pirâmide exista com base não degenerada e altura positiva, precisamos de
  1. s^2>0, ou seja, y^2 - x^2>0\Rightarrow y>x.
  2. x>0 e y>0 (comprimentos positivos).
    Portanto o domínio da função V(x,y) é
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0,\;y>x\bigr\}.

Resposta

V(x,y) = \frac{2}{3}\,x\bigl(y^2 - x^2\bigr), \quad \text{domínio: }x>0,\;y>x.í

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