Achar f(x, y) se f(x+y, x-y)=x y-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir a forma geral de f(x,y), sabendo que f(x+y, x-y) = x y - y^{2}. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em funções de duas variáveis e precisamos inverter a transformação linear (u,v) = (x+y, x-y).

Passo 2

Definimos novas variáveis u = x + y e v = x - y de modo a interpretar a relação dada. Para recuperar x e y em função de u e v, somamos e subtraímos:
u + v = (x+y)+(x-y) = 2x
x = u+v2
u - v = (x+y)-(x-y) = 2y
y = u-v2

Passo 3

Agora substituímos essas expressões na parte direita da condição f(u,v)=x y - y^{2}. Calculamos primeiro x y e y^{2}:
x y = u+v2 cdot u-v2 = u^2-v^24
y^2 = l(u-v2r)^2 = u^2 - 2uv + v^24

Passo 4

Subtraindo y^{2} de x y, obtemos
x y - y^2 = u^2-v^24 - u^2 - 2uv + v^24 = 2uv - 2v^24 = v(u - v)2
Dessa forma, para as variáveis (u,v) vale f(u,v) = tfracv(u-v)2.

Passo 5

Por fim, voltamos à notação original trocando (u,v) por (x,y). Assim,
f(x,y) = \frac{y,(x - y)}{2} = \frac{xy - y^{2}}{2}.

Resposta

f(x,y) = xy - y^22

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