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se
.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir a forma geral de f(x,y), sabendo que f(x+y, x-y) = x y - y^{2}. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em funções de duas variáveis e precisamos inverter a transformação linear (u,v) = (x+y, x-y).
Passo 2
Definimos novas variáveis u = x + y e v = x - y de modo a interpretar a relação dada. Para recuperar x e y em função de u e v, somamos e subtraímos:
Passo 3
Agora substituímos essas expressões na parte direita da condição f(u,v)=x y - y^{2}. Calculamos primeiro x y e y^{2}:
Passo 4
Subtraindo y^{2} de x y, obtemos
Dessa forma, para as variáveis (u,v) vale f(u,v) =
.
Passo 5
Por fim, voltamos à notação original trocando (u,v) por (x,y). Assim,
f(x,y) = \frac{y,(x - y)}{2} = \frac{xy - y^{2}}{2}.
Resposta
f(x,y) =