Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado define
f(x,y)= dfrac1r^2-1,&se r<1,[0.5em] 0,&se r>=1,
onde r=raizx^2+y^2.
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, e vamos usar que composições de funções contínuas são contínuas, que funções constantes são contínuas e que, em pontos de fronteira, a continuidade exige que os limites laterais coincidam com o valor da função.]
Passo 2
Na região interior ao círculo de raio 1, isto é (x,y)mid r<1, a função
g(r)=1r^2-1
é composição de rmapsto r^2-1 (contínua) e tmapsto1/t (contínua sempre que tneq0). Como em r<1 temos r^2-1<0neq0, não há singularidades ali. Logo f é contínua em todo ponto com r<1.
Passo 3
Na região exterior ao círculo de raio 1, isto é (x,y)mid r>1, vale f(x,y)=0, uma função constante, portanto contínua em todo ponto com r>1.
Passo 4
Resta examinar os pontos da fronteira r=1. Para (x,y) com r=1 temos f(x,y)=0.
– Se nos aproximamos por fora (rto1^+), f permanece 0, então limrto1^+f=0.
– Se nos aproximamos por dentro (rto1^-),
f(r)=1r^2-1;longrightarrow;-infty
pois o denominador tende a zero pela esquerda. Esse limite não é finito, logo não coincide com f=0. Concluímos que f é descontínua em todos os pontos com r=1.