e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limite usando coordenadas polares e o limite clássico limtto0sin tt=1.]
Passo 2
Para mostrar que f é contínua em (0,0) precisamos verificar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=1
Passo 3
Em coordenadas polares escrevemos
x=rcostheta, y=rsintheta,
de modo que x^2+y^2=r^2. Para (x,y)neq(0,0) temos então
f(x,y)=sin(r^2)r^2,
que depende apenas de r.
Passo 4
Como rto0 implica t=r^2to0, fazemos a substituição t=r^2 e usamos o limite de uma variável: