A função
f(x, y)= sin (x^2+y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)
é contínua em ( 0,0 )? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1ex] 1,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limite usando coordenadas polares e o limite clássico limtto0sin tt=1.]

Passo 2

Para mostrar que f é contínua em (0,0) precisamos verificar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=1

Passo 3

Em coordenadas polares escrevemos
x=rcostheta, y=rsintheta,
de modo que x^2+y^2=r^2. Para (x,y)neq(0,0) temos então
f(x,y)=sin(r^2)r^2,
que depende apenas de r.

Passo 4

Como rto0 implica t=r^2to0, fazemos a substituição t=r^2 e usamos o limite de uma variável:
limrto0sin(r^2)r^2 =limtto0sin tt =1

Passo 5

Concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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