Encontre uma função potencial f(x, y) para cada campo abaixo:
Gamma(x, y)=(y cos (x y), x cos (x y))

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma função potencial para o campo Gamma(x,y)=(ycos(xy),,xcos(xy)). O conteúdo aqui é identificar um campo conservativo (checar partial P/partial y=partial Q/partial x) e em seguida integrar para obter f(x,y).

Passo 2

Calcular partial Ppartial y e partial Qpartial x com
P(x,y)=ycos(xy), Q(x,y)=xcos(xy)
Temos
partial Ppartial y = partialpartial yl(ycos(xy)r) = cos(xy) - xysin(xy),
partial Qpartial x = partialpartial xl(xcos(xy)r) = cos(xy) - xysin(xy)
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Integramos P em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y) = integral ycos(xy),dx = sin(xy) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Determinamos h(y) usando a condição partial f/partial y=Q:
partialpartial yl(sin(xy)+h(y)r) = xcos(xy) + h'(y) stackrel!= Q = xcos(xy),
logo h'(y)=0 e h(y)=C, constante.

Resposta

f(x,y)=sin(xy)+C

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