Achar os fatores integrantes para as seguintes equações e resolver :

Passo 1

O enunciado pede para achar fatores integrantes para a equação de primeira ordem (x^3y - x^2) + x y' = 0 e, a partir daí, resolver o problema. O conteúdo essencial é de equações diferenciais de primeira ordem exatas (ou lineares) e fatores integrantes.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial exata:
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = x^3 y - x^2,
N(x,y) = x

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = x^3,
partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata. Precisamos de fator integrante.

Passo 4

Testamos fator integrante só em y:
partial N/partial x - partial M/partial yM = 1 - x^3x^3y - x^2,
que não depende somente de y. Em seguida testamos só em x:
partial M/partial y - partial N/partial xN = x^3 - 1x = x^2 - 1x,
que depende só de x. Então
mu(x) = e^integrall(x^2 - tfrac1xr),dx = e^x^33 - ln|x| = e^x^3/3x

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x) e obtemos
e^x^3/3(x^2y - x),dx + e^x^3/3,dy = 0,
que é agora exata. Chamando a função potencial de Phi(x,y), temos
partialPhipartial y = e^x^3/3 implies Phi(x,y) = y,e^x^3/3 + h(x)

Passo 6

Derivando em relação a x e igualando a e^x^3/3(x^2y - x) obtemos
h'(x) = -x,e^x^3/3

Passo 7

Portanto
Phi(x,y) = y,e^x^3/3 - integral x,e^x^3/3,dx = C,
que é a solução implícita. Isolando y, chegamos à forma explícita da solução.

Resposta

y = e^-x^33l(integral x,e^x^33,dx + Cr)

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