As questões 1. a 4. são referentes à equação diferencial s(t)=8 e^-t é sua solução geral. yP(1) é sua solução homogênea, para 2 e^-1 e 4 e^-1 constantes e e são soluções linearmente independentes. é sua solução particular.
Seja , qual é o valor de ?
(a)
(b)
© 2 e
(d) 4 e
(e) NDA

Passo 1

O enunciado pede a solução particular de segunda ordem para a EDO y''-2y'+y=8e^-t e, em especial, o valor de yP(1). Vamos usar coeficientes constantes e coeficiente não homógeneo exponencial.

Passo 2

Primeiro a equação homogênea y''-2y'+y=0 tem equação característica r^2-2r+1=0, com raiz dupla r=1. Assim yH=(C1+C2t)e^t, mas não precisamos mesmo dos detalhes de yH para achar yP.

Passo 3

Como o termo não homógeneo é 8e^-t e e^-t não está na solução homogênea, assumimos yP=Ae^-t. Então
yP=Ae^-t, yP'=-Ae^-t, yP''=Ae^-t

Passo 4

Substituindo em y''-2y'+y=8e^-t:
Ae^-t-2(-Ae^-t)+Ae^-t=4Ae^-t=8e^-t

Passo 5

logo 4A=8 e A=2. Portanto yP=2e^-t e
yP(1)=2e^-1

Resposta

2e^{-1}

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