As questões 8. a 10. são referentes à equação diferencial y^prime prime-2 y^prime+2 y=0. y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+ C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Sejam y(0)=1 e y^prime(0)=1 suas condições iniciais, qual é o valor de C1+C2 ?
(a) 1
(b) 2
© -1
(d) 0
(e) NDA

Passo 1

O enunciado pede a soma C1 + C2 das constantes da solução geral da EDO y'' - 2y' + 2y = 0, sabendo que y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método de equação característica para obter as soluções independentes e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO:
r^2 - 2r + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo temos
r = 2 pm raiz4 - 82 = 1 pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas 1 pm i, as duas soluções reais independentes são
y1(x) = e^xcos x, y2(x) = e^xsin x

Passo 5

Logo a solução geral é
y(x) = C1 e^xcos x + C2 e^xsin x

Passo 6

Calculamos a derivada:
y'(x) = C1 e^x(cos x - sin x) + C2 e^x(sin x + cos x)

Passo 7

Aplicando as condições iniciais:
Para y(0)=1 temos
y(0)=C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 1
Para y'(0)=1 temos
y'(0)=C1(1-0)+C2(0+1)=C1 + C2 = 1

Passo 8

Portanto, a soma pedida é C1 + C2 = 1.

Resposta

1

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