Resolver a equação de Bernoulli em R :
x^2 y^2-x y^prime-3 y=0

Passo 1

A equação dada é x^2y^2-x y'-3y=0. Isso pertence ao tipo de equações diferenciais de Bernoulli, em que temos uma equação de primeira ordem não linear que a gente transforma em linear via uma mudança de variável. Vamos usar a teoria de Bernoulli para resolver.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos em forma padrão de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^n. Partindo de
x^2y^2-x y'-3y=0
isolamos y':
-x y' = -x^2 y^2 + 3y
y' = x y^2 - 3xy
Logo temos
y' + 3xy = x,y^2
Aqui P(x)=3/x, Q(x)=x e n=2.

Passo 3

Para equações de Bernoulli com expoente n, usamos a substituição
z = y^1-n = y^-1
que leva a uma equação linear para z. Calculando z':
z' = -y^-2y'
Substituindo y' da forma padrão, obtemos
z' - 3xz = -x
que é uma equação linear em z.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear
z' - 3xz = -x
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral -3xdxr) = x^-3
Multiplicando tudo por x^-3
ddxl(x^-3zr) = -x^-2
Integrando ambos os lados:
x^-3z = integral -x^-2dx = x^-1 + C
Portanto
z = y^-1 = x^2 + Cx^3

Passo 5

Voltando à variável original y, temos
y = 1z = 1x^2 + Cx^3 = 1x^2(1 + Cx)
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli no domínio xneq0.

Resposta

y(x) = dfrac1x^2,(1 + Cx)

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