Resolver a equação de Bernoulli em
:
Passo 1
A equação dada é
. Isso pertence ao tipo de equações diferenciais de Bernoulli, em que temos uma equação de primeira ordem não linear que a gente transforma em linear via uma mudança de variável. Vamos usar a teoria de Bernoulli para resolver.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos em forma padrão de Bernoulli
. Partindo de
isolamos
:
Logo temos
Aqui
,
e
.
Passo 3
Para equações de Bernoulli com expoente
, usamos a substituição
que leva a uma equação linear para
. Calculando
:
Substituindo
da forma padrão, obtemos
que é uma equação linear em
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
dá
Integrando ambos os lados:
Portanto
Passo 5
Voltando à variável original
, temos
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli no domínio
.