Achar \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{d z}{d x}, se
z=\arctan \frac{y}{x}, \quad \text { e } \quad y=x^{2}
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}
tratando y como constante, e a derivada total \displaystyle \frac{dz}{dx}
quando y depende de x pelo vínculo y=x^2. Vamos usar a regra de derivação de \arctan(u)
e, no caso total, a regra de cadeia.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x},
definimos \displaystyle u=\frac{y}{x}
e escrevemos \displaystyle z=\arctan(u).
Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}},
logo, pela regra da cadeia em derivada parcial,
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1}{1+u^{2}}\;\frac{\partial u}{\partial x}.
Como
u=\frac{y}{x}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} =-\frac{y}{x^{2}},
temos
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1}{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}} \;\bigl(-\tfrac{y}{x^{2}}\bigr) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Para aplicar a regra de cadeia completa, também precisamos de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
De novo com u=y/x,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x},
então
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{1}{1+u^{2}}\;\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}}\;\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Como y=x^{2}, temos
\frac{dy}{dx}=2x.
Pela regra de cadeia para derivada total,
\frac{dz}{dx} =\frac{\partial z}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dx} =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} +\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,(2x).
Substituindo y=x^{2} no numerador e no denominador:
\frac{dz}{dx} =\frac{-x^{2}+2x^{2}}{x^{2}+x^{4}} =\frac{x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})} =\frac{1}{1+x^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{dz}{dx} =\frac{1}{1+x^{2}}.

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