Achar \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v}, se:
z=f(u, v), \quad \text { onde } \quad u=x^{2}-y^{2} \quad \text { e } \quad v=e^{x y}
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado nos dá
z = f(u,v),\quad u = x^2 - y^2,\quad v = e^{xy},
e pede as derivadas parciais de z em relação a u e a v. Como z depende apenas de u e v, calculamos essas derivadas tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}, fixamos v e diferenciamos f(u,v) em relação a u. Pela definição de derivada parcial:
\frac{\partial z}{\partial u} =\frac{\partial}{\partial u}f(u,v) =f_{u}(u,v).

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}, fixamos u e diferenciamos f(u,v) em relação a v. Assim:
\frac{\partial z}{\partial v} =\frac{\partial}{\partial v}f(u,v) =f_{v}(u,v).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u}=f_{u}(u,v), \qquad \frac{\partial z}{\partial v}=f_{v}(u,v).

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