Achar \frac{d u}{d t}, se u=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, onde x=R \cos t, y=R \operatorname{sen} t, z=H.

Passo 1

O enunciado define
u = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}},
com
x = R\cos t,\quad y = R\operatorname{sen} t,\quad z = H,
onde R e H são constantes.
Queremos \tfrac{d u}{d t}.
O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u(x,y,z).
Como
u = z\,(x^2+y^2)^{-\tfrac12},
temos
\frac{\partial u}{\partial x} = z\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-\tfrac32}\cdot 2x = -\,\frac{z\,x}{(x^2+y^2)^{3/2}},
\frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{z\,y}{(x^2+y^2)^{3/2}},
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Derivamos x,y,z em relação a t:
\frac{dx}{dt} = -R\operatorname{sen} t, \quad \frac{dy}{dt} = R\cos t, \quad \frac{dz}{dt} = 0.

Passo 4

Pela regra da cadeia para funções de três variáveis,
\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial u}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.

Passo 5

Substituindo as parciais e as derivadas de x,y,z:
\frac{du}{dt} = \Bigl(-\frac{z\,x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\Bigr)(-R\operatorname{sen} t) + \Bigl(-\frac{z\,y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\Bigr)(R\cos t) + \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 0.
Como x=R\cos t, y=R\operatorname{sen} t e x^2+y^2=R^2, nota-se que os dois primeiros termos se cancelam:
\frac{du}{dt} = \frac{z\,R^2\cos t\operatorname{sen} t}{R^3} - \frac{z\,R^2\operatorname{sen} t\cos t}{R^3} = 0.

Resposta

\frac{du}{dt} = 0.

Exercícios relacionados