Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\sqrt{2x+1}\,dx
Trata-se de integrar uma raiz de expressão linear, e a técnica indicada é a substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x+1.
Então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Os limites em x se transformam em u: quando x=0, u=1; quando x=4, u=9.

Passo 3

Substituindo em
\int_{0}^{4}\sqrt{2x+1}\,dx
vem
\int_{u=1}^{u=9}\sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac12\int_{1}^{9}u^{\frac12}\,du.

Passo 4

Para integrar \int u^{\frac12}du, aplicamos a regra de potência:
\int u^{\frac12}\,du = \frac{u^{\frac32}}{\frac32} = \frac{2}{3}u^{\frac32}.
Multiplicando por \tfrac12, a primitiva fica
\frac12\cdot\frac{2}{3}u^{\frac32} = \frac{1}{3}u^{\frac32}.

Passo 5

Agora avaliamos de u=1 até u=9:
\left[\frac{1}{3}u^{\frac32}\right]_{1}^{9} = \frac{1}{3}\bigl(9^{\frac32}-1^{\frac32}\bigr) = \frac{1}{3}(27-1) = \frac{26}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{26}{3}

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