Calcule as integrais a seguir utilizando o Método da Substituição (MDV):
\int 2^{x^{2}+1} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx
usando o método da substituição. Vamos reconhecer em x\,dx o diferencial de uma função simples de x de forma a reescrever a integral em termos de uma nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2} + 1,
pois sua diferencial envolve x\,dx, que aparece na integral original.

Passo 3

Calculamos du. Derivando u em relação a x, obtemos
du = 2x\,dx
e, portanto, podemos isolar
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Substituímos na integral original. Temos
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx = \int 2^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 2^{u}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Sabemos que
\int 2^{u}\,du = \frac{2^{u}}{\ln 2},
já que a derivada de 2^{u} é (\ln 2)\,2^{u}. Logo,
\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{2^{u}}{\ln 2} = \frac{2^{u}}{2\,\ln 2}.
Revertendo a substituição u = x^{2}+1, concluímos a integral.

Resposta

\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx = \frac{2^{\,x^{2}+1}}{2\,\ln 2} + C.

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