\frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v}, se:
z=f(x, y)=\arctan \frac{x}{y}, \quad \text { onde } \quad x=u \sin v \quad \text { e } \quad y=u \cos v
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado define
z = f(x,y) = \arctan\frac{x}{y},
com
x = u\sin v \quad\text{e}\quad y = u\cos v.
Queremos calcular \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} usando a regra da cadeia. Para isso, precisaremos de f_x, f_y, \partial x/\partial u, \partial y/\partial u, \partial x/\partial v e \partial y/\partial v.

Passo 2

Derivando z=\arctan(x/y) em relação a x e y, temos
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\arctan\frac{x}{y}\Bigr) = \frac{1}{1+(x/y)^2}\cdot\frac{1}{y} = \frac{y}{x^2+y^2}
e
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\arctan\frac{x}{y}\Bigr) = \frac{1}{1+(x/y)^2}\cdot\Bigl(-\frac{x}{y^2}\Bigr) = -\frac{x}{x^2+y^2}\,.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de x e y em função de u e v:
\frac{\partial x}{\partial u} = \sin v, \quad \frac{\partial y}{\partial u} = \cos v,
\frac{\partial x}{\partial v} = u\cos v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = -\,u\sin v.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \partial z/\partial u:
\frac{\partial z}{\partial u} = f_x\,\frac{\partial x}{\partial u} + f_y\,\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{y\sin v - x\cos v}{x^2+y^2}.
Substituindo x=u\sin v e y=u\cos v:
y\sin v - x\cos v = u\cos v\sin v - u\sin v\cos v = 0, \quad x^2+y^2 = u^2.
Logo
\frac{\partial z}{\partial u} = 0.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \partial z/\partial v:
\frac{\partial z}{\partial v} = f_x\,\frac{\partial x}{\partial v} + f_y\,\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{u\,y\cos v + u\,x\sin v}{x^2+y^2}.
Calculando o numerador e o denominador:
u\,y\cos v + u\,x\sin v = u\bigl(u\cos^2v + u\sin^2v\bigr) = u^2, \quad x^2+y^2 = u^2.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial v} = 1.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial v} = 1.

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